Материалы Международной студенческой научной конференции
Студенческий научный форум 2024

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНЙ И НЕРАВЕНСТВ

Аллазиева Г. 1 Утепкалиев С. 1
1 Атырауский государственный университет им. Х. Досмухамедова
1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение», 1988.
2. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Лекции по алгебре и элементарным функциям. Изд. Москва МТУ, 1978.
3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. – Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987.
4. Гусев В.А., Мордович А.Г. Математика. Справочные материалы. – Книга для учащихся. М.: «Просвещение», 1990..
5. Кравцов С.В., Макаров Б.Н. и др. Методы решения задач по алгебре. Экзамен «Оникс 21 век». М., 2001.

В статье рассматривается различные методы решения функциональных уравнений и неравенств. А также приведены решение задач относительно композиции функции. Такие задачи мало рассматриваются в школьном курсе математики, а часто встречаются в заданиях математической олимпиады. Приведены анализ применения разлияных методов решения функциональных уравнений и неравенств. Задача этой работы обеспечить более полное раскрытие применения функционального метода к решению уравнений и неравенств, от простых до сложных.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств позволяет сделать более осмысленным их изучение. Свойства функции, геометрические образы необходимо широко использовать при изучении уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, отражающееся на функциональный метод, достаточно нетрадиционно и является творческой задачей.

а) Задачи относительно композиции функции.

Задача 1. Если allaz01.wmf. Найти значение выражения allaz02.wmf.

Решение. Функция g(x) определена на всей числовой оси: х∈(-∞; + ∞).

Напмшем композиции функции allaz03.wmf, allaz04.wmf:

allaz05.wmf, и функции allaz06.wmf, allaz07.wmf, allaz08.wmf

Тогда allaz09.wmf

allaz10.wmf.

Следовательно, значение выражения allaz11.wmf при x ≠ 2 равно: allaz12.wmf.

Задача 2. Дано функция allaz13.wmf. Найти allaz14.wmf, allaz15.wmf

Решение. Имеем: allaz16.wmf

А композиции функции f(x) = 3-2x и f(f(x))=g(x) пишем в виде:

allaz17.wmf

Задача 3. Пусть allaz18.wmf. Вычислить значение функции allaz19.wmf при х = 4.

Решение. Для функции allaz20.wmf получим следующью гипотезу:

при n = 1: allaz21.wmf.

при n = 2: allaz22.wmf

при n = 3: allaz23.wmf

…………………………………………………………….

при n: allaz24.wmf allaz25.wmf

Эту гипотезу доказываем методом математической индукцией.

При n = 1 имеет место allaz26.wmf. Пусть при n = k гипотеза верна, т.е.

allaz27.wmf

Теперь доказываем, что при случае n = k + 1. Действительно, имеем:

allaz28.wmf

Таким образом, гипотеза верна при любом натуральном значении n:

allaz29.wmf allaz30.wmf

При n = 2020 allaz31.wmf allaz32.wmf

allaz33.wmf – безконечно убывающая геометрическая прогрессия с знаменателем allaz34.wmf, ее сумма равна: allaz35.wmf

Тогда allaz36.wmf

При x = 4 allaz37.wmf

б) Различные методы решение функциональных уравнении и неравенств.

Под функциональным методом решения уравнений и неравенств понимают метод решения, опирающийся на использование свойство функций, входящих в уравнении и неравенство. Изучение роли функционального метода решения уравнений и неравенств является целью этой работы.

Функциональный метод используется:

1) В обосновании классических методов решения уравнений и неравенств (теорем равносильности, методов интервалов);

2) используется для решения задач, которые другими методами решить нельзя;

3) некоторые задачи можно решить разными способами, но более рациональным методом является функциональный;

4) при решении уравнений и неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Большинство функциональных уравнений могут быть не определены специальной функцией, то есть класса функций, которые обладают обобщенными свойствами. Например, уравнение f(x + 1) = f(x) – характеризует класс функций, период которых равен 1, а уравнение f(1 + x) = f(1-x) – класс симметричных функций по отношению к прямой x = 1. Особое место в теории функциональных уравнений занимают дифференциальные уравнения. Показать некоторые методы решения функциональных уравнений.

Задача 4. Решить уравнение allaz38.wmf.

Решение. х > 5. Рассмотрим функцию allaz39.wmf. Тогда данное уравнение примет в виде функционального уравнения: allaz40.wmf.

Так как функция allaz41.wmf возрастающая, то уравнение allaz42.wmf равносильно уравнению x = f(x), т.е. уравнению allaz43.wmf = 0.

Решая этого уравнения, находим: allaz44.wmf.

Задача 5. Найти всех непрерывные функций f(x), если allaz45.wmf.

Решение. Сделаем замену х > allaz46.wmf, тогда: allaz47.wmf

Так как функция f(x) непрерывная, то allaz48.wmf

Значить, allaz49.wmf.

Задача 6. Найти всех дифференцируемых функций f(x), если

allaz50.wmf.

Решение. Пусть х = у = 0, тогда allaz51.wmf, отсюда f(0) = 0.

Преобразуя данного уравнение (y = h), получим: allaz52.wmf

Учитывая, что allaz53.wmf, находим предел при h > 0:

allaz54.wmf, где С allaz56.wmf

Интегрируем последнего уравнения: allaz57.wmf, получим:

allaz58.wmf, бyдан allaz59.wmf.

Так как allaz60.wmf, то С1 = 0 и allaz61.wmf

Задача 7. Решить уравнение allaz62.wmf.

Решение. Выполняем следующие действия:

1) Замена allaz63.wmf, тогда allaz64.wmf,

2) Выражение х подставляем в данному уравнению:

allaz65.wmf

3) Заменяем z через allaz67.wmf: allaz68.wmf

4) Таким образом получаем два уравнения:

allaz69.wmf и allaz70.wmf

5) Умнажая первого уравнения на (-2), сложим на вторую уравнению:

Тогда, получим: allaz71.wmf Значит, искомая функция есть: allaz72.wmf

Задача 8. При положительных значении переменных x и y для функции f(x) имеет место равенство f(xy) = f(х) + f(у). Если allaz73.wmf, то найти f(2020).

Решение. По условию f(1·1) = f(1) + f(1) или 2f(1)=f (1). Значит, f(1) = 0. Для всех положительных х выполняется равенство:

allaz74.wmf тогда allaz75.wmf

Следовательно, при x = 2020, получим: allaz76.wmf allaz77.wmf

Задача 9. При всех рациональных значении x и y функция f(x) удовлетворяет условию allaz78.wmf. Известно,что allaz79.wmf. Найти allaz80.wmf табындар.

Решение. По условию allaz81.wmf allaz82.wmf Значить, allaz83.wmf и

allaz84.wmf Тогда, allaz85.wmf отсюда allaz86.wmf

allaz87.wmf

allaz88.wmf, ал allaz89.wmf

Задача 10. Дана функция allaz90.wmf. Решить неравенство allaz91.wmf allaz92.wmf.

Решение. allaz93.wmf Так как allaz94.wmf, то данное неравенство примет вид: allaz95.wmf allaz96.wmf, allaz97.wmf < 0.

Так как неравенство allaz98.wmf > 0 имеет место при всех действительных значении х, то решение последнего неравенства будет промежуток allaz99.wmf.

Задача 11. Пусть allaz100.wmf, allaz101.wmf. Решить неравенство allaz102.wmf.

Решение. allaz103.wmf, тогда allaz104.wmf.

Если allaz105.wmf, то неравенство allaz106.wmf примет вид:

allaz107.wmf ≥ 1.

Обозначим, что allaz108.wmf, то t ≥ 0 и имеем систему неравенств:

allaz109.wmf

allaz110.wmf

Таким образом, обобщенные методы задач относительно функциональной зависимости пока не сформулированы, очевидно, можно отнести функциональные уравнения и неравенства с использованием следующих индивидуальных методов и приемов:

– использовать непрерывность функций, устойчивость, монотонность, периодичность, парно-досоковые свойства;

– нули функции или метод неподвижных точек;

– дифференциальный метод, метод перехода на предельный;

– метод разницы;

– метод применительно к функционально заданным свойствам неизвестной функции;

– метод математической индукции;

– способность принимать большие или малые значения функции в какой-либо точке;

– метод рекурентных ошибок;

– метод замены переменных или выражений относительно аргумента;

– метод записи функции в виде суммирования четных и нечетных функций.

Известно, что обобщенные методы решения функциональных уравнений, не приводимые в дифференцирование и интеграцию, являются малыми. Функциональные уравнения часто встречаются при решении множества прикладных задач, при составлении расписания занятий, в системе управления ракетами и других практических задачах. Также решение функциональных уравнений и неравенств рекомендуется на Олимпиадах для школьников и студентов. От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает:

- умение схематизировать;

- развивает интуицию;

- прививает навыки дедуктивного мышления;

- развивает творческие исследовательские способности.

Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое значение.


Библиографическая ссылка

Аллазиева Г., Утепкалиев С. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНЙ И НЕРАВЕНСТВ // Материалы МСНК "Студенческий научный форум 2024". – 2020. – № 5. – С. 100-104;
URL: https://publish2020.scienceforum.ru/ru/article/view?id=314 (дата обращения: 20.06.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674