Геометрическое моделирование – это одно из важнейших направлений в сегодняшней науке, которое позволяет создавать и анализировать сложные геометрические объекты и структуры. Оно имеет множество применений в различных областях: машиностроение, архитектура, компьютерная графика и медицина, например, создание трехмерных моделей органов человека по данным компьютерной томографии.
Представьте, что утром вы вышли на остановку или собрались в метро, но нигде нет ни автобусов, ни трамваев. Все эти сложные механизмы были созданы с помощью геометрического моделирования, все, к чему привык современный человек – телевизоры, средства связи, передвижения и многое другое могло бы просто не существовать.
С помощью геометрического моделирования создают точные и сложные модели объектов, которые используют для анализа и производства, ускоряют процесс проектирования, за счет чего появляется возможность снизить затраты на производство и уменьшить цены при продаже [1].
Ключевые моменты в истории развития геометрического моделирования:
1. Евклидова геометрия;
2. Начертательная геометрия и проекционное черчение;
3. Введение систем координат Декартом;
4. Теоретические основы САПР;
5. Плоское моделирование [2].
Основой для описания предметов можно назвать Евклидову геометрию – геометрическую теорию, основанную на системе аксиом, изложенной в «Началах» Евклида, III в. до н.э. Это элементарная геометрия, определяемая группой перемещений (изометрий) и группой подобия, но не только эти виды преобразований. К элементарной геометрии относятся преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и т.д. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом [3].
Рис. 1. Декартова система координат
Дальнейшее развитие идей Евклидовых построений сформировало методы начертательной геометрии и проекционного черчения. Начертательная геометрия – это наука, изучающая геометрические способы изображения предметов на плоскости. Проекционное черчение – это раздел начертательной геометрии, который изучает правила построения изображений на плоскости трехмерных объектов, а также их взаимное расположение в пространстве. Были они разработаны в конце XVIII в. и с тех пор широко используются в инженерном дизайне и геометрическом моделировании – позволяют точно изображать и описывать геометрические объекты на плоскости.
Дальше, в 1637 году, была введена Рене Декартом – система координат Декарта. Математический инструмент, что позволяет определять положение точки на плоскости или в пространстве, состоит из двух осей – горизонтальной и вертикальной, которые пересекаются в точке (0, 0) – начале координат. С помощью численных значений, представленных на осях, можно определить точное положение любой точки в пространстве (рис. 1) [4].
Это позволило соединить геометрию с аналитической математикой и открыть новые возможности для исследования геометрических фигур и их свойств. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой способ «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике [5].
Теоретические основы САПР сформировались в 60-х и начале 70-х годов прошлого века. САПР (системы автоматизированного проектирования) – это компьютерные программы, которые позволяют инженерам и дизайнерам создавать и редактировать геометрические модели объектов и систем [7].
Теоретические основы САПР сформировались в результате необходимости ускорения процесса проектирования и создания новых продуктов, автоматизации процесса проектирования, позволяя инженерам и дизайнерам создавать и редактировать геометрические модели объектов и систем, проводить их анализ и оптимизацию [6].
Плоское моделирование – это традиционный способ плоского геометрического моделирования, который состоит в применении линейки, циркуля и транспортира на чертежной доске. Плоское моделирование используется для создания двухмерных чертежей, которые описывают геометрические параметры объектов на плоскости.
С другой стороны, геометрическое моделирование является более современным подходом к проектированию, который использует компьютерные системы для создания трехмерных моделей объектов. Геометрическое моделирование позволяет создавать более сложные модели, чем плоское моделирование, и обеспечивает более точное описание геометрических параметров объектов. Но можно сказать, что оба направления представляют собой два различных подхода к проектированию, которые используются для создания объектов просто в разных измерениях.
Геометрическое моделирование – это математическое представление геометрии объекта, созданное с помощью программного обеспечения. Оно включает как графическую, так и неграфическую информацию. Эта информация хранится в базе данных и отображается в виде рисунка. Затем модель можно редактировать и анализировать различными способами.
Что такое геометрическое моделирование нам уже известно, но из чего оно «состоит»?
Основные понятия геометрического моделирования:
• Кривые – это линии, которые могут быть использованы для представления формы объекта. Кривые могут быть созданы с помощью математических функций или с помощью точек, соединенных линиями.
• Поверхности – это двумерные объекты, которые могут быть использованы для представления формы объекта в трехмерном пространстве. Поверхности могут быть созданы с помощью кривых или с помощью математических функций.
• Тела – это трехмерные объекты, которые могут быть использованы для представления реальных объектов. Тела могут быть созданы с помощью поверхностей или с помощью других тел.
Основные методы геометрического моделирования:
• Моделирование кривых линий – это процесс создания кривых линий, которые могут быть использованы для представления формы объекта.
• Моделирование поверхностей – это процесс создания поверхностей, которые могут быть использованы для представления формы объекта в трехмерном пространстве.
• Операции над кривыми и поверхностями – это процесс создания новых кривых и поверхностей путем комбинирования или изменения существующих кривых и поверхностей.
• Моделирование тел – это процесс создания трехмерных объектов, которые могут быть использованы для представления реальных объектов.
Поскольку кривыми легко манипулировать и сгибать, геометрическое моделирование широко использует кривые для построения поверхностей. Формирование кривых может быть достигнуто с помощью – набора точек, аналитических функций или других кривых, функций [9].
Математическое представление объекта может быть отображено на компьютере и использовано для создания чертежей, которые затем используются для анализа и последующего изготовления объекта. В общем, существует три обычных шага к созданию геометрической модели:
1. Они создают ключевые геометрические элементы с помощью таких команд, как точки, линии и окружности.
2. Применение преобразований к геометрическим элементам с помощью таких команд, как поворот, достижение масштабирования и других связанных функций преобразования.
3. Создайте геометрическую модель, используя различные команды, которые объединяют элементы геометрической модели для формирования желаемой формы.
Существует два основных типа геометрических моделей: двумерная модель, которая используется для технического рисования, и трехмерная модель, которая используется для автоматизированного проектирования и производства.
• Двумерное или 2D оно проецирует двумерный вид и используется для плоских объектов.
• Трехмерное или 3D – это представление позволяет получить полное трехмерное представление модели со сложной геометрией. Ведущим процессом геометрического моделирования в 3D является твердотельное моделирование.
Построение геометрической модели предполагает использование компьютерной программы 3D для описания геометрических взаимосвязей и физического размера компонента. Модели также могут содержать свойства материала и другие атрибуты элемента, такие как масса компонента. Программы могут рассчитывать массовые характеристики компонента и оценивать другие его физические свойства. Эти возможности могут иметь решающее значение для гибких и адаптивных производственных линий [8].
Геометрическое моделирование, как и многое в нашей жизни имеет свои преимущества, которые делают его ценным инструментом:
• Автоматизация построения геометрических элементов, позволяет быстро и точно создавать сложные геометрические формы.
• Копирование фрагментов, упрощает процесс создания повторяющихся или схожих элементов.
• Простота редактирования геометрической и текстовой информации, обеспечивает гибкость в процессе проектирования и позволяет легко вносить изменения.
• Автоматическая штриховка и нанесение размеров, ускоряет процесс создания детализированных чертежей.
• Точность и качество документации, обеспечивает высокую точность геометрии, что важно для производства и контроля качества.
• Компактность хранения, модели занимают гораздо меньше места для хранения, чем традиционные бумажные чертежи.
• Легкая процедура расчета координат каждой точки, упрощает процесс работы с моделью.
• Небольшой объем информации для описания сложных форм, что делает геометрическое моделирование эффективным инструментом для работы с абсолютно разными формами [7].
Несмотря на то, что с помощью геометрического моделирования было создано множество изобретений, все в этой жизни имеет и проблемы:
• Погрешность при построении, она небольшая и составляет всего 0.1 мм, а при задании угловыми значениями – 1 мм на одном метре.
• Сложность конфигурации изделия, когда плоское представление и система чертежных размеров однозначны лишь до определенного уровня сложности.
• Изменение традиционного подхода к проектированию, например, внедрение компьютерного черчения практически не требовало изменения традиционного подхода к проектированию, что первоначально было воспринято как важнейшее преимущество плоских систем.
• Разнообразие математических моделей абстрактного изделия может привести к сложностям в классификации CAD/CAM/CAE/PDM/TDM и к более глубокой специализации внутри каждого раздела.
CAD/CAM/CAE/PDM/TDM – это сокращения, которые используются в инженерном проектировании для обозначения различных этапов и подходов к проектированию и производству изделий.
- CAD (Computer-Aided Design) – это процесс создания геометрической модели изделия с помощью компьютера.
- CAM (Computer-Aided Manufacturing) – это процесс создания программы для управления станком с ЧПУ на основе геометрической модели изделия.
- CAE (Computer-Aided Engineering) – это процесс анализа и оптимизации геометрической модели изделия с помощью компьютера.
- PDM (Product Data Management) – это система управления данными о продукте, которая позволяет хранить, управлять и распространять информацию о продукте в рамках всего жизненного цикла изделия.
- TDM (Tool Data Management) – это система управления данными о инструментах, которая позволяет хранить, управлять и распространять информацию о инструментах, используемых в производстве.
• Сложность в применении для новых пользователей [6].
Современный этап внедрения систем автоматизированного проектирования характеризуется повышенным интересом к объемному моделированию. На фоне бурного роста возможностей и числа продуктов трехмерного проектирования, развитие плоских систем происходит практически незаметно. В основу идеологии положены разнообразные математические модели абстрактного изделия. Объекты рассматриваются с точки зрения различных специальностей, применяются множество методов получения параметров: геометрические, технологические, тепловые, аэродинамические, эргономические и т.п.
Рис. 2. Распространение технологий, % домохозяйств
Рис. 3. Переход от телефона к смартфону
Так же можно заметить повышение точности геометрии: «чертилки» довольно бойко работали, обеспечивая точность до 0.001 мм в метровых диапазонах, а автоматизация построения, копирование фрагментов, простота редактирования геометрической и текстовой информации, автоматическая штриховка и нанесение размеров, точность и качество документации, компактность хранения и многое другое очень сильно облегчают работу.
Давайте с вами посмотрим на то, как распространялись привычные нам технологии, созданные при помощи геометрического моделирования с течением времени среди обычного населения (рис. 2).
Как мы видим, самым необходимым для людей являлись элементы обеспечения комфортной жизни, а только потом продукты с помощью, которых можно было организовать досуг или связь, потому что графики растут намного стремительнее (рис. 3).
Перспективы развития геометрического моделирования связаны с улучшением алгоритмов, методов и технологий, которые позволяют создавать более сложные, реалистичные и динамичные модели, а также с увеличением областей применения геометрического моделирования в науке, искусстве, образовании и развлечениях:
• Использование криволинейных примитивов, таких как поверхности второго и третьего порядка, для описания более сложных и гладких форм объектов;
• Развитие методов смешивания, деформации и анимации геометрических моделей, основанных на смешивающих функциях;
• Применение геометрического моделирования для создания виртуальной и дополненной реальности, интерактивных симуляторов, игр и фильмов;
• Интеграция геометрического моделирования с другими видами моделирования, такими как физическое, тепловое, аэродинамическое и т.д., для получения более полной и точной информации об объектах;
• Расширение возможностей геометрического моделирования с помощью искусственного интеллекта, машинного обучения и нейронных сетей, которые могут автоматизировать, оптимизировать и улучшать процесс создания и отображения моделей;
• Использование геометрического моделирования как средства развития познавательных действий, логического мышления и творческого воображения у детей и взрослых [2, 10].
В данной статье мы рассмотрели историю, основы, преимущества, проблемы и перспективы геометрического моделирования. Мы показали, что геометрическое моделирование является важным инструментом для проектирования, анализа и визуализации различных и незаменимых в повседневной жизни объектов, а также для развития познавательных и творческих способностей. Мы также обозначили некоторые сильные и проблемные стороны геометрического моделирования, такие как:
• Сильные стороны: высокая точность, гибкость, реалистичность, динамичность и интегрируемость геометрических моделей; возможность использования криволинейных примитивов, смешивающих функций, виртуальной и дополненной реальности, искусственного интеллекта и машинного обучения для создания и улучшения моделей; широкая область применения геометрического моделирования в науке, технике, искусстве и образовании.
• Проблемные стороны: высокая сложность, трудоемкость, вычислительная затратность и требовательность к ресурсам геометрического моделирования; возможность возникновения ошибок, несовместимостей, коллизий и артефактов при работе с моделями; ограничения по точности, масштабу, скорости и качеству отображения моделей; необходимость учета физических, тепловых, аэродинамических и других свойств объектов при моделировании.
Геометрическое моделирование является актуальной и перспективной областью компьютерной графики, которая имеет большое значение для развития науки, техники, искусства и образования. Однако, для достижения более высоких результатов в геометрическом моделировании необходимо решать существующие проблемы и ограничения, а также исследовать новые возможности и методы.