Mathcad – это ПО для расчетов числовых и аналитических операций по формулам с возможностью их визуализации в виде графиков.
Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых входят производные функции и может входить сама функция независимые переменные и параметры.
Со школы нам известны простейшие уравнения в которых нужно найти х. Дифференциальные уравнения немного отличаются, вместо х находим функцию у(х). Дифференциальные уравнения – это не абстрактная математика это целая наука, с помощью которой можно описывать многие процессы, например, колебания струны или нахождение скорости или ускорения тела. Существует множество видов ДУ некоторые из них расcмотрим в Mathcad (1).
Для решения ДУ в Mathcad рассмотрим ряд встроенных функций.
1. rkfixed – функция для решения ОДУ методом Рунге-Кутта
2. Rkadapt – функция решения ОДУ методом Рунге-Кутта с переменным шагом
3. Odesolve – функция решения ОДУ блочным методом.
Решение функции с помощью rkfixed. При использования функции rkfixed указывается имя вектора и границы интервала. В итоге получаем матрицу, где в первом столбце содержатся значения искомой функции, во втором и третьем значение самой функции (рис. 2).
Рис. 1. Пример решения ДУ
Рис. 2. Пример решения функции с помощью rkfixed
Рис. 3. Пример решения функции с помощью Rkadapt
Рис. 4. Пример решения функции с помощью Odesolve
Рис. 5. Пример решения функции с помощью Bulstoer Метод Булирша-Штера
Решение функции с помощью Rkadapt. Функция Rkadapt полезна когда известно что рассматриваемый интервал меняется слабо, любо медленные или быстрые изменения. Метод Рунге-Кутта с переменным шагом разделяет интервал не на равномерные. Там где решение меняется слабо выбираются более редкие шаги, а в областях с сильными изменениями выбирают частые. Метод Bulirsch-Stoer оказывается более эффективным для поиска гладких решений (рис. 3).
Решение функции с помощью Odesolve. Функция Odesolve полезна для решения обыкновенного ДУ заданного в виде краевых задач или задач Коши. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса ОДУ. Для начала в блоке given должны быть определены начальные условия и ДУ функция х – переменная для интегрирования b – конец промежутка решений step – величина шага (рис. 4).
Bulstoer Метод Булирша-Штера. Этот метод лучше чем метод Рунге-Кутта, в том случае если решения с плавной функцией (рис. 5).
В результате получаем матрицу, где количество столбцов равно порядку уравнений, а количество строк равно параметру n.
Использование Mаthcad позволяет ускорить процесс нахождения решения задачи, а использование программирование может ускорить этот процесс. Минусы в использования на мой взгляд кажутся высокие системные требования и времязатратность.